第四维、立体主义和相对论
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数学家用一个名称替代不同的事物，而诗人则用不同的名称意指同一件事物。
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然而，这部著作最让我感兴趣的部分却是，连接爱因斯坦相对论和毕加索立体主义的纽带竟然是数学中的第四维，也即黎曼几何学的一种特殊形式。当人们仍在激烈地辩论非欧几何学以及违反欧几里德第五公设的哲学后果时，法国数学家亨利·庞加莱是这样教我们想象四维世界的，“外在物体的形象被描绘在视网膜上，这个视网膜是一个二维画；这些形象是一副透视图……”按照他的解释，既然二维面的一个景象是从三维面而来的投影，那么三维面上的一个形象也可以看成是从四维而来的投影。庞加莱建议，可以将第四维描述成画布上接连出现的不同透视图。依照毕加索的视觉天赋，他认为这不同的透视图应该在时间同时性里展示出来，于是就有了《阿维尼翁少女》——立体主义的开山之作（阿维尼翁是法国南方靠近马赛的一座小镇，离开凡·高的圣地阿尔只有几公里远）。 其实，萨尔蒙的描述多少有些夸张。在毕加索的艺术家圈子里，最重要的要数诗人阿波利奈尔，他同时也是小说家、演出经纪人、美食品尝家、藏书家、色情文学的支持者，并被后人尊称为立体主义绘画的解释人。在巴黎的一次秋季沙龙开幕式上，阿波利奈尔发表了关于第四维和现代艺术的演讲。在他眼里，第四维并不是一个数学概念（他恐怕理解不了欧氏几何和非欧几何的区别），而是一个隐喻，它包含着新美学的种子。阿波利奈尔把立体主义与科学革命相提并论，将其描述成一种第四维的艺术，认为“立体主义用一个无限的宇宙取代了一个以人为中心的有限宇宙”；“几何图形是绘画必不可少的，几何学对于造型艺术就如同语法对写作艺术一样重要。”必须指出，普兰斯也是那次沙龙的组委会成员，显而易见，阿波利奈尔把他引进的几何学加以发挥了。
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如果上述例子仍不足以解释相对论，还有一种办法可以帮助我们理解，那就是试图理解更难的非欧几何学。直到十八世纪末十九世纪初，几何领域仍然是欧几里得一统天下，笛卡尔的解析几何只是改变了几何研究的方法，并使牛顿和莱布尼兹发明的微积分学表述得更加清晰，却没有从本质上改变欧氏几何本身的内容。欧氏几何赖以存在的前提中有这么一条不那么自明的假设，即“过直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行”，也就是所谓的“第五公设”。这个暧昧的假设引起了数学家的广泛关注，其中大多数人试图证明它，也有的沿着不同的方向，即试图给出相反的假设。
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庞加莱从未在一个研究领域作过久的逗留，一位同僚戏称他是“征服者，而不是殖民者”。即使在数学和相对论以外，他的贡献也难以胜数：光学、电学、电报、弹性力学、热力学、量子论、势论、毛细现象、宇宙起源，等等。从某种意义上讲，整个数学都是庞加莱的领域，但他对拓扑学的贡献无疑最为重要。以他名字命名的猜想提出已经整整一百年了，并被悬赏一百万美元，可是至今仍无人认领。这个猜想说的是，任意三维的单连通闭流形必与三维球面同胚。（有意思的是，这个猜想的推广，即四维和四维以上的情形倒是被两位美国数学家分别证实，并先后获得菲尔茨奖。）由于庞加莱猜想理解起来不如哥德巴赫猜想或费尔马大定理来得容易，因此虽然它的价值非常之高，却少有业余爱好者问津。 庞加莱的哲学著作除了《科学与假设》以外，具有重大影响的还有《科学的价值》、《科学方法论》。他是唯心主义的约定论哲学的代表人物，认为公理可以在一切可能的约定中进行选择，但需以实验事实为依据，避开一切矛盾。同时，他反对无穷集合的概念，反对把自然数归结为集合论，认为数学最基本的直观是自然数，这使他成为直觉主义的先驱者之一。正是由于这些成就的取得才使庞加莱既当选为法兰西科学院的院士（后成为院长），又当选为法兰西学院的院士，他同时处身于科学和人文两座金字塔的塔尖。庞加莱相信艺术家和科学家之间创造力的共性，相信“只有通过科学与艺术，文明才体现出价值”。 从气质上讲，我认为庞加莱与稍后的同胞画家马蒂斯、作曲家德彪西比较接近，他对哲学、文化领域的关注和贡献则延续了帕斯卡尔、笛卡尔这些前辈同行的传统。我在一部德国数学家的传记里读到，有人在巴黎问当地人，“为什么贵国历史上出了那么多伟大的数学家？”巴黎人回答，“我们最优秀的人学习数学。”又去问法国数学家，“为什么贵国的数学一直享誉世界呢？”数学家回答，“数学是我们传统文化中最优秀的部分。”长期引领英国学术界、思想界的伯特兰·罗素也曾经谈到，庞加莱是二十世纪初法兰西最伟大的人物。当他在巴黎初次拜访这位数学奇才时，“舌头一下子失去了功能，直到费了一些时间（大约有两、三分钟），仔细端详和承受可谓他思想的外部形式的面貌和神采时，我才发现自己能够说话了。”
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